Particelle in campi magnetici
Moto in campo magnetico uniforme 🟩
Se abbiamo una particella carica con velocità uniforme in campo magnetico uniforme, come abbiamo detto in precedenza, una forza centripeta, questo farà curvare la carica, una cosa interessante sarebbe provare a capire raggio di curvatura della nostra carica. Sotto in immagine abbiamo l’esempio di curvatura.
Dove $p$ è la quantità di moto, quantità che credo sia relazionata al lavoro ed inerzia, parte di fisica 1 che non ho studiato da più di due anni. Questa stessa relazione, conoscendo il raggio può essere usata per calcolare il campo magnetico!.
Possiamo anche avere una velocità angolare!
$$ \omega = \frac{v}{r} = \frac{vqB}{mv} = \frac{qB}{m} $$Questo risultato si poteva anche avere osservando che $F = m \vec{\omega} \times \vec{v}$ E si noterà che il verso è opposto al campo magnetico. Quindi:
$$ \vec{\omega} = -\frac{q\vec{B}}{m} $$Ma questo vale solo classicamente, perché poi entrano in gioco irradiazioni che fanno perdere energia e anche cose relativistiche se accelero troppo.
Supponiamo ora che ci sia un certo angolo fra i due allora ho che solamente la parte normale ha forza, avrò un moto elicoidale.
Angolo generico 🟩
$$
F = qv \times B = q(\vec{v}_{n} + \vec{v}_{p}) \times \vec{B} = q\vec{v}_{n}\times \vec{B}
$$
Passo dell’elica Vogliamo capire quale sia la distanza fra un top di elica e una altra, avremo che questo è
$$ p = v_{p} T = v_{p} \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi mv_{p}\cos \theta}{qB} $$Dove $v_{p}$ è la velocità parallela al campo magnetico, e $T$ è il periodo che è calcolato dalla velocità angolare. Il coseno serve per prendere la componente corretta credo….
Effetto Hall 🟩
Da studiare bene pagina 230 Mazzoldi.
Sia dato un conduttore parallelepipedo, una piccola sottile lastra, che scorre una corrente, allora avremo una forza
La forza è non-elettrostatica, chiamata forza elettromotore, simile a quello per i circuiti, lo scrivo così:
$$ F = qE_{m} = q\vec{v}_{d}\times \vec{B} \implies E_{m} = v_{d}B $$Questo fa accumulare carica positiva sopra, che crea un altro campo elettrico statico che prova a bilanciare. Il primo passaggio è motivato perché è come se esistesse un campo elettrico fittizio, per spostarlo su. (È un campo elettrico generato!).
Questo campo elettrico che bilancia si chiama campo elettrico di Hall. È utile per capire se i portatori di carica è negativo o positivo, forse ha una cosa storica questa cosa. Avremo che
$$ \Delta V_{M} = E_{m} b = v_{d}Bb = b\vec{J}\times \frac{\vec{B}}{nq} = i \frac{\hat{u}}{a}\times \frac{\vec{B}}{nq} \implies \Delta V = \frac{iB}{nqa} $$Dove $b$ è l’altezza, e $a$ è la width del nostro filo.
Questo permette di misurare il campo magnetico ed è chiamato sonda di Hall, basta misurare la differenza potenziale presente. Per esempio questo diventa molto utile quando per Magnetismo nella materia andiamo poi a misurare il campo magnetico in buchi, basta mettere questa sonda di Hall.
Spettrometri di massa
Spettrometro di massa di Thomson 🟩
Ho un coso che emette particelle in tutte le direzioni, faccio passare una zona per aumentare energia e poi campo magnetico
Abbiamo che
$$ \frac{1}{2}mv^{2} = q\Delta V \implies v = \sqrt{ \frac{2qV}{m} } $$Usiamo poi questo valore che ci permette di descrivere la velocità della particella prima che entrino nel campo magnetico, e otteniamo poi che, considerando l’accelerazione centripeta. $$ F = qvB = \frac{mv^{2}}{r} \implies r = \frac{mv}{qB} =
\sqrt{ 2 \frac{m\Delta V}{qB^{2}} }
$$ Questo è uno strumento buono per separare **isotopi**, perché hanno una massa diversa, ma stessa carica. Posso anche definire il rapporto fra i raggi degli isotopi che è $$\frac{r_{1}}{r_{2}} = \sqrt{ \frac{m_{1}}{m_{2}} } $$
Selettore di velocità 🟩
Metto in modo che ci sia un condensatore che abbia un certo campo elettrico, e anche che ci sia un campo magnetico, vorrei avere che abbiamo stesso valore, ossia
$$ qE = q\vec{v} \times \vec{B} \implies E = vB $$Nel nostro setting, questo è utile per sapere la velocità da mettere poi in uno spettrometro di massa e fargli fare un certo giro! Allora abbiamo di nuovo
$$ qvB_{0} = \frac{mv^{2}}{R} \implies R = \frac{mv}{qB_{0}} = \frac{mE}{qBB_{0}} $$Anche questo posso usarlo per separare isotopi diversi, ma la cosa bella è che questo è lineare mentre prima avevamo una radice quadrata.
Spire
Setting classico: spira rettangolare 🟩
Prendiamo un campo magnetico costante, e un rettangolo di filo indeformabile (perché ci sono forze che potrebbero deformarla), in cui c’è corrente, questo fa girare.
Il campo magnetico ha un angolo con la nostra spira. Ossia ->
$$ F_{4} = F_{3} = 0, F_{1} = F_{2} = 0 $$Ossia la spira non trasla, perché non c’è accelerazione, non trasla il centro di massa. E questo per qualche motivo ci permette anche di usare qualunque sistema di riferimento, tanto diventerà uguale…
I due invece fanno ruotare la spira:
$$ M = \vec{M}_{1} + \vec{M}_{2} = \vec{r}_{1}\times \vec{F}_{1} + \vec{r}_{2}\vec{F}_{2} = \frac{b}{2}\sin \theta F_{1} + \frac{b}{2} \sin \theta F_{2} = bsen\theta F = b \sin \theta iaB = i \vec{S} \times \vec{B} $$Per i lati su e giù abbiamo stessa forza che si annulla, per altri invece abbiamo un momento ora.
Momento magnetico di spira 🟩
dal risultato precedente sembra sensato definire una nuova variabile:
$$ \vec{m} = i\vec{S} $$Il che ci permette di scrivere la relazione di sopra come
$$ \vec{M} = \vec{m} \times \vec{B} $$Che sta clean. Questo è molto simile al valore trovato per il momento nel Dipolo elettrico, in cui abbiamo il momento di dipolo.
Piccole oscillazioni 🟥
usiamo quanto scritto sopra, e valutiamo cosa succede per cose piccole:
$$ \lvert \vec{M} \rvert = -mB\sin \theta = mB\theta = I\dot{\omega}= I\ddot{\theta} $$E abbiamo che
$$ \ddot{\theta} + \omega^{2}\theta=0 $$Questo permette di calcolare il campo magnetico, col periodo. La cosa interessante è che questo si comporta come un ago magnetico, stesso comportamento.