Particelle in campi magnetici
Moto in campo magnetico uniforme 🟩
Se abbiamo una particella carica con velocità uniforme in campo magnetico uniforme, come abbiamo detto in precedenza, una forza centripeta, questo farà curvare la carica, una cosa interessante sarebbe provare a capire raggio di curvatura della nostra carica. Sotto in immagine abbiamo l’esempio di curvatura.
Dove $p$ è la quantità di moto, quantità che credo sia relazionata al lavoro ed inerzia, parte di fisica 1 che non ho studiato da più di due anni. Questa stessa relazione, conoscendo il raggio può essere usata per calcolare il campo magnetico!.
$$ \omega = \frac{v}{r} = \frac{vqB}{mv} = \frac{qB}{m} $$$$ \vec{\omega} = -\frac{q\vec{B}}{m} $$Ma questo vale solo classicamente, perché poi entrano in gioco irradiazioni che fanno perdere energia e anche cose relativistiche se accelero troppo.
Supponiamo ora che ci sia un certo angolo fra i due allora ho che solamente la parte normale ha forza, avrò un moto elicoidale.
Angolo generico 🟩
$$
F = qv \times B = q(\vec{v}_{n} + \vec{v}_{p}) \times \vec{B} = q\vec{v}_{n}\times \vec{B}
$$$$
p = v_{p} T
= v_{p} \frac{2\pi}{\omega}
= \frac{2\pi mv_{p}\cos \theta}{qB}
$$Dove $v_{p}$ è la velocità parallela al campo magnetico, e $T$ è il periodo che è calcolato dalla velocità angolare. Il coseno serve per prendere la componente corretta credo….
Effetto Hall 🟩
$$ \vec{F} = q\vec{v}_{d} \times \vec{B} $$$$ F = qE_{m} = q\vec{v}_{d}\times \vec{B} \implies E_{m} = v_{d}B $$Questo fa accumulare carica positiva sopra, che crea un altro campo elettrico statico che prova a bilanciare. Il primo passaggio è motivato perché è come se esistesse un campo elettrico fittizio, per spostarlo su. (È un campo elettrico generato!).
$$ \Delta V_{M} = E_{m} b = v_{d}Bb = b\vec{J}\times \frac{\vec{B}}{nq} = i \frac{\hat{u}}{a}\times \frac{\vec{B}}{nq} \implies \Delta V = \frac{iB}{nqa} $$Dove $b$ è l’altezza, e $a$ è la width del nostro filo.
Questo permette di misurare il campo magnetico ed è chiamato sonda di Hall, basta misurare la differenza potenziale presente. Per esempio questo diventa molto utile quando per Magnetismo nella materia andiamo poi a misurare il campo magnetico in buchi, basta mettere questa sonda di Hall.
Spettrometri di massa
Spettrometro di massa di Thomson 🟩
Ho un coso che emette particelle in tutte le direzioni, faccio passare una zona per aumentare energia e poi campo magnetico
$$
\frac{1}{2}mv^{2} = q\Delta V \implies
v = \sqrt{ \frac{2qV}{m} }
$$Usiamo poi questo valore che ci permette di descrivere la velocità della particella prima che entrino nel campo magnetico, e otteniamo poi che, considerando l’accelerazione centripeta. $$ F = qvB = \frac{mv^{2}}{r} \implies r = \frac{mv}{qB} =
$$ Questo è uno strumento buono per separare **isotopi**, perché hanno una massa diversa, ma stessa carica. Posso anche definire il rapporto fra i raggi degli isotopi che è $$\frac{r_{1}}{r_{2}} = \sqrt{ \frac{m_{1}}{m_{2}} } $$
Selettore di velocità 🟩
$$
qE = q\vec{v} \times \vec{B} \implies
E = vB
$$$$
qvB_{0} = \frac{mv^{2}}{R} \implies
R = \frac{mv}{qB_{0}} = \frac{mE}{qBB_{0}}
$$Anche questo posso usarlo per separare isotopi diversi, ma la cosa bella è che questo è lineare mentre prima avevamo una radice quadrata.
Spire
Setting classico: spira rettangolare 🟩
Prendiamo un campo magnetico costante, e un rettangolo di filo indeformabile (perché ci sono forze che potrebbero deformarla), in cui c’è corrente, questo fa girare.
Ossia la spira non trasla, perché non c’è accelerazione, non trasla il centro di massa. E questo per qualche motivo ci permette anche di usare qualunque sistema di riferimento, tanto diventerà uguale…
$$ M = \vec{M}_{1} + \vec{M}_{2} = \vec{r}_{1}\times \vec{F}_{1} + \vec{r}_{2}\vec{F}_{2} = \frac{b}{2}\sin \theta F_{1} + \frac{b}{2} \sin \theta F_{2} = bsen\theta F = b \sin \theta iaB = i \vec{S} \times \vec{B} $$Per i lati su e giù abbiamo stessa forza che si annulla, per altri invece abbiamo un momento ora.
Momento magnetico di spira 🟩
$$ \vec{m} = i\vec{S} $$$$ \vec{M} = \vec{m} \times \vec{B} $$Che sta clean. Questo è molto simile al valore trovato per il momento nel Dipolo elettrico, in cui abbiamo il momento di dipolo.
Piccole oscillazioni 🟥
$$ \lvert \vec{M} \rvert = -mB\sin \theta = mB\theta = I\dot{\omega}= I\ddot{\theta} $$$$ \ddot{\theta} + \omega^{2}\theta=0 $$Questo permette di calcolare il campo magnetico, col periodo. La cosa interessante è che questo si comporta come un ago magnetico, stesso comportamento.