⚡Elettromagnetism

Introduzione al vettore potenziale Definizione vettore potenziale $$ \vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A} $$ Con un campo vettoriale a caso $\vec{A}$, vedremo che questo campo avrà qualche utilità per fare i calcoli. Possiamo notare che soddisfa la proprietà dell campo solenoidale citato in Magnetismo, infatti $$ \vec{\nabla} \cdot \vec{B} = \vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{A}) = 0 $$ Perché sappiamo che la divergenza del rotore (questo operatore dico) è sempre nullo per ragioni di Cauchy, se ne parla in Divergenza e Circuitazione. ...

Analisi macroscopica Setting dell’esperimento $$ \vec{F} = -\vec{\nabla} \cdot U \implies F = -\vec{\nabla}(\vec{m} \cdot \vec{B}) = \pm m \frac{dB}{dx} $$ La prima relazione si deriva da definizione di lavoro e forza. (esteso al caso di una forza applicata su spira che non è banale, facciamola brevemente). $$ Fds = dW = -dU = i \nabla \Phi(B) ds \implies F = i\nabla \Phi(B) = m \cdot \nabla B = -\nabla U $$La cosa da notare è che per campi uniformi abbiamo che si può definire il lavoro. ...

Campo elettrico nei materiali Se prendiamo un conduttore, gli elettroni in questi materiali sono liberi, significa che sono liberi di muoversi come vogliono, si può dire che “vadano in giro” (per esempio questo vale per il rame). il reticolo cristallino è al struttura regolare che è comune nei materiali, in cui gli atomi sono sempre a distanza costante (o comunque a pattern regolari) uno dall’altro $r$ per esempio. Campo e materiali (6) Schermatura del campo (!) Quando un materiale conduttore è sottoposto a un campo elettrico *gli elettroni si mettono in modo da schermare il campo esterno, in modo tale da raggiungere un equilibrio. ...

Relazioni con fili - Ampere Legge di Biot-Savart/Formalizzazione esperienza di Ampere Poniamo che ho due fili in cui scorra della corrente, voglia capire la forza per unità di lunghezza del filo uno su due e viceversa. So che entrambi generano campo magnetico So che il campo magnetico induce forza su correnti in movimento. Supponiamo che la loro distanza sia $D$, allora avremo che: Per la prima legge so: $$ d\vec{B} = \mu_{0}i d\vec{l} \times \frac{\hat{r}}{4\pi r^{2}} $$ da questo posso calcolare il campo magnetico totale, in un modo simile a quanto fatto in precedenza per il campo elettrico (solo che in questo caso abbiamo il prodotto seno, quindi l’angolo che conviene scegliere è un po’ diverso), e una volta che ho questo posso usare la seconda legge per avere la forza, questo è il piano. $$ \vec{B} = \int _{Filo} \frac{\mu_{0}i}{4\pi} d\vec{l} \times \frac{\hat{r}}{r^{2}} = \hat{k} \frac{\mu i}{4\pi} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{+\pi/2} \frac{dl}{r^{2}} \sin \theta $$$$ r\sin \theta = D \implies r = \frac{D}{\sin \theta} $$$$ \frac{D}{l} = \tan \theta \implies l = \frac{D}{\tan \theta} \implies dl = D \frac{d\theta}{\sin ^{2}\theta} $$$$ \lvert \vec{B} \rvert = \frac{\mu_{0}i}{4\pi} \int _{\pi}^{0} \frac{\sin \theta}{D} d\theta \, dx = \frac{\mu_{0}i}{4\pi D} (-\cos \theta) ^{0}_{\pi} = \frac{\mu_{0}i}{2\pi D} $$ Da qui abbiamo ottenuto la legge di Biot Savart. Qui notiamo che il campo magnetico circola intorno al filo (è tangente al campo magnetico in questo caso, molto simile). ...

Introduzione elettromagnetismo Note storiche: triboelettricità Il concetto di campo è fondamentale per l’elettromagnetismo (vs forza in meccanica) da un punto di vista storico è nato tramite l’osservazione in fenomeni come lo strofinio fra vetro e pelle, dopo il quale hanno osservato ci fosse una forza nascosta (appunto ombra dal greco di electron). Il vetro si caricava poi abbastanza da poter attrarre carta per esempio. esempio dell’esperimento. Se viene fatto invece fra due lastre in vetro invece diventa repulsiva invece che attrattiva. Questo effetto è chiamato triboelettricità. ...

Introduzione alla legge di gauss Giustificazione con angoli solidi $$ d\Phi = \vec{E}\cdot \vec{dS} = \lvert \vec{E} \rvert \lvert \vec{dS} \rvert \cos \theta = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{1}{r^{2}} ds = \frac{Q}{4\pi\varepsilon}d\Omega $$ Il secondo passaggio è giustificabile andando su coordinate polari considerando l’angolo solido di un oggetto quindi non dovrebbe essere un problema. $$ \Phi = \int _{\sum} \, d\Phi= \int _{\sum} \frac{Q}{4\pi\varepsilon}\, d\Omega = \frac{Q}{4\pi\varepsilon}\int _{\sum} \, d\Omega = \frac{Q}{4\pi\varepsilon} 4\pi = \frac{Q}{\varepsilon} $$ Nota il flusso dipende solamente dalla CARICA, indipendente dalla singola posizione. ! 300 ...

Introduzione ai campi magnetici Introduzione storica (non impo) Il magnetismo è stato in primi osservato e documentato da Greci, che hanno osservato che materiali metallici come ferro, questo è successo in magnesia, una penisola dell’Asia minore, mentre elettro era più sull’ambra, che credo fosse il nome dato a quel materiale. Una cosa nota era che se vicino a un materiale magnetico, venivano create linee con materiale ferroso all’estremità (limatura magnetica). ...