⚡Elettromagnetism

Introduzione al vettore potenziale Definizione vettore potenziale 🟩 Possiamo sempre scrivere il campo $\vec{B}$ come $$ \vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A} $$ Con un campo vettoriale a caso $\vec{A}$, vedremo che questo campo avrà qualche utilità per fare i calcoli. Possiamo notare che soddisfa la proprietà dell campo solenoidale citato in Magnetismo, infatti $$ \vec{\nabla} \cdot \vec{B} = \vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{A}) = 0 $$ Perché sappiamo che la divergenza del rotore (questo operatore dico) è sempre nullo per ragioni di Cauchy, se ne parla in Divergenza e Circuitazione....

Analisi macroscopica Setting dell’esperimento 🟩 Provare a guardare 269 del Mazzoldi. (227 per la defivazione della forza.) Si può dimostrare che $$ \vec{F} = -\vec{\nabla} \cdot U \implies F = -\vec{\nabla}(\vec{m} \cdot \vec{B}) = \pm m \frac{dB}{dx} $$ La prima relazione si deriva da definizione di lavoro e forza. (esteso al caso di una forza applicata su spira che non è banale, facciamola brevemente). Sappiamo che $U = - m \cdot B$, quindi è vero che $dW = -dU = i d \Phi (B)$ e poi utilizzando una proprietà del gradiente in Divergenza e Circuitazione abbiamo $$ Fds = dW = -dU = i \nabla \Phi(B) ds \implies F = i\nabla \Phi(B) = m \cdot \nabla B = -\nabla U $$ La cosa da notare è che per campi uniformi abbiamo che si può definire il lavoro....

Introduzione ai condensatori Analisi introduttiva condensatori: tubi di flusso 🟩 Consideriamo un **tubo di flusso infinitesimo** come in immagine. abbiamo che $dQ$ è la carica totale dentro al cubo. Tale che segua le linee di campo. Il flusso totale sarebbe $$ \oint_{\Sigma} \vec{E} \cdot d\vec{s} = \frac{Q_{T}}{\varepsilon_{0}} $$ Sappiamo anche che $$ \vec{E}_{1}d\vec{s}_{1} + \vec{E}_{2}d\vec{s}_{2} = \frac{dQ_{T}}{\varepsilon_{0}} $$ Ma scegliamo il cubo di flusso in modo che le superfici siano **perpendicolari al nostro campo**, e così posso considerare il problema da un puro punto di vista **scalare**....

Introduzione alla legge di gauss Giustificazione con angoli solidi 🟨– Pagina 69 del Mazzoldi. Vogliamo chiederci quanto sia il flusso in qualunque superficie Da un punto di vista infinitesimo abbiamo che (perché il flusso è, intuitivamente, la parte perpendicolare rispetto la superficie che abbiamo) $$ d\Phi = \vec{E}\cdot \vec{dS} = \lvert \vec{E} \rvert \lvert \vec{dS} \rvert \cos \theta = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{1}{r^{2}} ds = \frac{Q}{4\pi\varepsilon}d\Omega $$ Il secondo passaggio è giustificabile andando su coordinate polari considerando l’angolo solido di un oggetto quindi non dovrebbe essere un problema....

Particelle in campi magnetici Moto in campo magnetico uniforme 🟩 Se abbiamo una particella carica con velocità uniforme in campo magnetico uniforme, come abbiamo detto in precedenza, una forza centripeta, questo farà curvare la carica, una cosa interessante sarebbe provare a capire raggio di curvatura della nostra carica. Sotto in immagine abbiamo l’esempio di curvatura. $$ F = qvB= ma = \frac{mv^{2}}{r} \implies r = \frac{mv^{2}}{qvB} = \frac{mv}{qB} = \frac{p}{qB} $$ Dove $p$ è la quantità di moto, quantità che credo sia relazionata al lavoro ed inerzia, parte di fisica 1 che non ho studiato da più di due anni....