10.1 Derivata parziale La derivata vuole descrivere quanto varia una funzione al variare dell’input. Ma ora siamo in più dimensioni, quindi vogliamo descrivere il variare dell’input come il variare della distanza euclidea $\dfrac{\delta f}{\delta x}(x,y) = \lim _{h \to 0} \dfrac{f(x + h, y) - f(x, y)}{h}$ ovvero sto facendo variare solamente una variabile (la y in questo caso è come se fosse una costante!?) Questo è un rapporto incrementale su una direzione....
Matrice Jacobiana È un modo per scrivere il gradiente di una funzione quando è in una certa forma. Data una funzione $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p$ ossia per esempio $x=(x_1,...,x_n) \to(f_1(x),...,f_p(x))$ Se le p funzioni di arrivo sono differenziabili, allora la matrice Jacobiana è definita in questo modo: $$J_f(x) = \begin{pmatrix} \delta_{x_1} f_1(x) & … & \delta_{x_n} f_1(x)\ . & . & . \ \delta_{x_1} f_p(x) & … & \delta_{x_n} f_p(x)...
8.1 Introduzione 8.1.1 Il problema che risolve Vogliamo cercare di creare un metodo matematico che sia utile per calcolare area di qualunque curva. L’idea principale per risolvere questo problema è approssimare l’area, lo facciamo utilizzando rettangoli, la formalizzazione sarà molto aiutata dal limite. 8.1.2 Sottografico di funzione $$ A = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 | x \in D(f(x)), 0\leq y \leq f(x)\} $$ Praticamente sto prendendo tutti in punti positivi sotto al grafico....
Intuition The most important observation that allows Fourier series approximation is that given $k = 1, 2, \dots$ we have that $$ \frac{1}{\sqrt{ 2\pi }}, \frac{\cos(kx)}{\sqrt{ \pi }}, \frac{\sin(kx)}{\sqrt{ \pi }}, \dots $$ Form a infinitely dimensional orthonormal basis given the integral relations $$ \int_{0}^{2\pi} (\sin (kx))^{2} \, dx = \int_{0}^{2\pi} (\cos(kx))^{2} \, dx = \pi $$ $$ \int_{0}^{2\pi}\sin(kx)\sin(hx) \, dx = \int_{0}^{2\pi}\cos(kx)\cos(hx) \, dx = 0 $$ And that $$ \int_{0}^{2\pi}\sin(kx)\cos(hx) \, dx = \int_{0}^{2\pi} \sin(kx) \, dx = \int_{0}^{2\pi}\cos(hx) \, dx = 0 $$ Proofs of the relations In this section we quickly prove why the above equations hold....
7.1 De Hopital 7.1.1 Lemmi preliminari Questo lemma preliminare era già presente per la prova del teorema degli zeri Questo lemma è molto interessante perché mette in relazione il finito (le successioni) con l’infinito (i reali) In molte dimostrazioni si dà per scontato questo lemma, ma è una sottigliezza importante che giustifica l’utilizzo di successioni per limiti reali. Ci permette di semplificare molto le dimostrazioni perché riusciamo a trattare le successioni molto meglio....