🔮Real-Analysis

💡 Questa prima parte degli appunti è fortemente mancante 1.1 Insiemistica Tutta Questa prima roba di insiemistica è fatta molto meglio nel corso di logica, in particolare in questo documento Teoria assiomatica degli insiemi 1.1.1 Definizione e caratteristiche degli insiemi Definizione di Campo ordinato (operazioni fra certi insiemi, sia per la addizione, per la moltiplicazione e simili) Corpo commutativo Sono definiti somma e moltiplicazione e proprietà come commutatività, associatività, distributiva, inversi, opposti, zero e nullo...

8.1 Introduzione 8.1.1 Il problema che risolve Vogliamo cercare di creare un metodo matematico che sia utile per calcolare area di qualunque curva. L’idea principale per risolvere questo problema è approssimare l’area, lo facciamo utilizzando rettangoli, la formalizzazione sarà molto aiutata dal limite. 8.1.2 Sottografico di funzione $$ A = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 | x \in D(f(x)), 0\leq y \leq f(x)\} $$ Praticamente sto prendendo tutti in punti positivi sotto al grafico....

Questo argomento è stato trattato durante dopo la discussione dei Massimi minimi multi-variabile, però è stato ripreso anche nella forma R to R, quindi credo necessiti di un foglio a parte. Affine set Lines Let’s take two points in $\mathbb{R}$ $x_{1}, x_{2}$, if we consider the parametrization $$ x = \theta x_{1} + (1 - \theta)x_{2} $$ This is a parametrization of the line Example: Def: affine set A combination where the coefficients add up to 1....

Intuition The most important observation that allows Fourier series approximation is that given $k = 1, 2, \dots$ we have that $$ \frac{1}{\sqrt{ 2\pi }}, \frac{\cos(kx)}{\sqrt{ \pi }}, \frac{\sin(kx)}{\sqrt{ \pi }}, \dots $$ Form a infinitely dimensional orthonormal basis given the integral relations $$ \int_{0}^{2\pi} (\sin (kx))^{2} \, dx = \int_{0}^{2\pi} (\cos(kx))^{2} \, dx = \pi $$ $$ \int_{0}^{2\pi}\sin(kx)\sin(hx) \, dx = \int_{0}^{2\pi}\cos(kx)\cos(hx) \, dx = 0 $$ And that $$ \int_{0}^{2\pi}\sin(kx)\cos(hx) \, dx = \int_{0}^{2\pi} \sin(kx) \, dx = \int_{0}^{2\pi}\cos(hx) \, dx = 0 $$ Proofs of the relations In this section we quickly prove why the above equations hold....

7.1 De Hopital 7.1.1 Lemmi preliminari Questo lemma preliminare era già presente per la prova del teorema degli zeri Questo lemma è molto interessante perché mette in relazione il finito (le successioni) con l’infinito (i reali) In molte dimostrazioni si dà per scontato questo lemma, ma è una sottigliezza importante che giustifica l’utilizzo di successioni per limiti reali. Ci permette di semplificare molto le dimostrazioni perché riusciamo a trattare le successioni molto meglio....