⚡Elettromagnetism

Introduzione Intuizione del campo elettrostatico Elettrostatico vs elettrodinamico 🟩 Andiamo a chiamare elettrostatico perché nel nostro caso non si sta muovendo nessuna carica all’itnerno di questo campo. Proprietà del campo elettrostatico (5) 🟨 Le linee di forza in ogni punto dello spazio sono tangenti e concorde al campo in quel punto; le linee di forza si addensano dove l’intensità del campo e maggiore; le linee di forza non si incrociano mai, in quanto in ogni punto il campo è definito univocamente e non può avere due direzioni distinte. le linee di forza hanno origine dalle cariche positive e terminano sul cariche negative; qualora ci siano solo cariche dello stesso segno le linee di forza si chiudono all’ infinito; nel caso di cariche di segno opposto, ma eguali in modulo, tutte le linee the partono dalle cariche positive si chiudono su quelle negative (induzione completa), alcune passando eventualmente per l’infinito; se invece le cariche non sono eguali in modulo, alcune linee terminano o provengono dall’ infinito. Carica esploratrice 🟩 È anche chiamata carica di prova, è una carica fittizia messa per esplorare la struttura del campo elettrico in un certo spazio ...

Gli argomenti della lezione 31 Ottobre sono circa da pagina 164 fino a 185 del mazzoldi. Leggi di Ohm Introduzione microscopica 🟩 Sappiamo che $$ \vec{J} = -n e \vec{v}_{d} ne^{2} t \frac{\vec{E}}{m} $$ Vedi analisi della velocità di deriva col modello del 1900 in Corrente Elettrica. Dove abbiamo utilizzato la definizione di densità di corrente e la velocità fra collisioni ed altre Questo è una motivazione per considerare la densità di corrente come se fosse nello stesso verso. ...

Spire Spira quadrata Questo è descritto nell’esempio 8.1 del Mazzoldi. È stato descritto anche in un esercizio in classe (non è importante). Spira circolare 🟩 Vedere pagina 245 Vogliamo cercare il valore del campo sull’asse della spira circolare. Questo è semplice, basta usare la prima di Laplace e trovare l’apporto del campo magnetico al centro. Si può anche pensare come momento magnetico, allora si utilizza sempre lo stesso discorso per la spira quadrata classica e il suo momento. ...

introduzione ai dielettrici Esperimenti metalli e dielettrici 🟩 $$ V_{s} = (h - s) E_{0} $$ Questo è vero perché semplicemente in mezzo al conduttore il campo elettrico è nullo, come spiegato in Conduttori elettrici, quindi durante l’integrale, il percorso è semplicemente minore, esattamente di quella quantità. $$ k = \frac{V_{0}}{V_{k}} < 1 $$Costante dielettrica relativa 🟩 $$ E_{k} = \frac{V_{k}}{h} = \frac{V_{0}}{kh} = \frac{E_{0}}{k} = \frac{\sigma_{0}}{k\varepsilon_{0}} = \frac{\sigma_{k}}{\varepsilon_{0}} = \frac{\sigma_{0}}{\varepsilon} $$$$ E_{k} = \frac{\sigma_{0}}{\varepsilon_{0}} - \frac{\sigma_{p}}{\varepsilon_{0}} $$$$ \sigma_{p} = \frac{k - 1}{k} \sigma_{0} $$$$ \sigma_{k} = \sigma_{0} - \sigma_{p} = \frac{\sigma_{0}}{k} $$ Qui si può giocare un po’ senza nessun problema! ...

Introduzione ai condensatori Analisi introduttiva condensatori: tubi di flusso 🟩 Consideriamo un **tubo di flusso infinitesimo** come in immagine. abbiamo che $dQ$ è la carica totale dentro al cubo. Tale che segua le linee di campo. Il flusso totale sarebbe $$ \oint_{\Sigma} \vec{E} \cdot d\vec{s} = \frac{Q_{T}}{\varepsilon_{0}} $$ Sappiamo anche che $$ \vec{E}_{1}d\vec{s}_{1} + \vec{E}_{2}d\vec{s}_{2} = \frac{dQ_{T}}{\varepsilon_{0}} $$ Ma scegliamo il cubo di flusso in modo che le superfici siano **perpendicolari al nostro campo**, e così posso considerare il problema da un puro punto di vista **scalare**. Sapendo che nell'esempio sott il campo non è esistente, allora posso scrivere il campo elettrico che va fuori, semplicemente in punto di vista scalare: $$ E_{2} = \frac{dQ}{\varepsilon_{0}ds_{2}} $$ esChe è molto molto simile alla forma $\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$. il parametro di nostro interesse in questo esempio (almeno la cosa di nostro interesse) è *il concetto di distanza*, se ci allontaniamo dalla nostra superficie, $dS_{2}$ diventa più larga Introduzione ai condensatori 🟩 Poniamo di avere due armature metalliche qualsiasi, che abbiamo cariche uguali ed opposte in segno di una forma qualunque a distanza qualunque, in questo setting teorico. La cosa interessante è che suppongo di avere #Induzione completa in questo caso. È una necessità per l’analisi dei condensatori. ...

Introduzione alla corrente elettrica Considerazioni generali Elettroni liberi nei materiali Ricorda che è un reticolo cristallino, con un elettrone nell’ultimo orbitale poco legato, quindi facilmente ionizzabile, in cui gli elettroni si possono muovere facilmente, e abbiamo che $n \approx 8.5 \times 10^{28} \frac{e^{-}}{m^{3}}$ nel rame Per l’argento abbiamo 5.9 con stesso ordine di grandezza. Velocità media elettroni senza campo elettrico 🟩 $$ \vec{v}_{m} = \sum_{i = 1} ^{N} \frac{\vec{v}_{i}}{N} = 0 $$$$ \frac{1}{2} m_{e} v^{2} = \frac{3}{2} k T $$ Con $k = 1.38 \times 10 ^{-23} J / K$ questo da studiare in altro posto… ...

Questo problema è stato trattato in modo un po’ più semplificato (nel caso in cui la carica era esattamente a metà in Campo elettrico#Dipolo elettrico). Questo problema è stato storico, utilizzato per analizzare l’atomo. Potenziale del dipolo elettrico 🟩– $$ V(P) = V_{r^{+}} + V_{r^{-}} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left( \frac{1}{r^{+}} - \frac{1}{r^{-}} \right) $$$$ r^{+} - r^{-} = -a \cos \theta $$$$ \left( \frac{1}{r^{+}} - \frac{1}{r^{-}} \right) = \frac{a\cos \theta}{r^{2}} $$$$ V(P) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{qa\cos \theta}{r^{2}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{P\cos \theta}{r^{2}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \frac{\vec{P}\cdot \hat{r}}{r^{2}} $$ Direttamente proporzionale al momento di tipolo Inversamente proporzionale al quadrato del raggio. Campo elettrico nel dipolo $$ \vec{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \vec{P} \cdot \frac{\hat{r}}{r^{3}} $$$$ \vec{E} = -\vec{\nabla} V $$Componente parallela 🟩 $$ \vec{E} = - \vec{\nabla}V = -\frac{\delta V}{\delta x}\hat{i} -\frac{\delta V}{\delta y}\hat{j} -\frac{\delta V}{\delta z}\hat{k} $$ Sappiamo che $\vec{P} = P\hat{k}$ e $\vec{r} = x\hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ allora abbiamo che $\vec{P} \cdot \vec{r} = Pz$ Poi abbiamo che $z = r \cos \theta$ ...

Scalare Scalare e gradiente 🟩 $$ \varphi(x, y, z) : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R} $$$$\vec{\nabla}\varphi = ( \frac{\delta\varphi}{\delta x}, \frac{\delta\varphi}{\delta y}, \frac{\delta\varphi}{\delta z}) = \frac{\delta\varphi}{\delta x} \hat{i} + \frac{\delta\varphi}{\delta y} \hat{j} + \frac{\delta\varphi}{\delta z} \hat{k}$$ Se consideriamo il gradiente da solo è un campo vettoriale (dice la direzione della derivata multidimensionale). Gradiente in coordinate polari 🟨 Questo è un po’ più difficile da gestire, però è abbastanza facile una volta che si fanno certe osservazioni. Sappiamo che $dV = \vec{\nabla} V \cdot d\vec{s}$, TODO: finire la dimostrazione, è descritta bene a pagina 47 del mazzoldi. ...

Analisi macroscopica Setting dell’esperimento 🟩 $$ \vec{F} = -\vec{\nabla} \cdot U \implies F = -\vec{\nabla}(\vec{m} \cdot \vec{B}) = \pm m \frac{dB}{dx} $$ La prima relazione si deriva da definizione di lavoro e forza. (esteso al caso di una forza applicata su spira che non è banale, facciamola brevemente). $$ Fds = dW = -dU = i \nabla \Phi(B) ds \implies F = i\nabla \Phi(B) = m \cdot \nabla B = -\nabla U $$La cosa da notare è che per campi uniformi abbiamo che si può definire il lavoro. ...

$$ \vec{\nabla} \times \vec{B} = \mu_{0}\vec{J} + \mu_{0}\varepsilon_{0} \frac{\delta \vec{E}}{\delta t} $$$$ \vec{\nabla} \times \vec{E} = - \frac{\delta \vec{B}}{\delta t} $$ Con questi abbiamo le onde elettromagnetiche. Nel vuoto possiamo dire che non abbiamo densità di corrente, per questo posso andare nel vuoto, sono due cose che si autosostengono. Sono simmetriche a meno di costante. Questo ci dice che Preso un campo elettrico che varia nel tempo (tipo una carica oscillante). Questo mi dice che si genera un campo magnetico prima non esistente Questo campo che varia nel tempo va a creare un altro campo elettrico Quindi abbiamo un processo che continua così all’infinito sostenendosi. In queste due equazioni abbiamo la luce. 2 circuitazioni 2 Leggi di gauss e le 4 equazioni di Maxwell sono in grado di descrivere tutti i fenomeni elettromagnetici. ...