Limiti

Riguardare Successioni per avere primo attacco sui limiti 4.1 Limiti finiti al finito 4.1.1 Intorno sferico Dato l’insieme $\mathbb{R}$ si definisce l’intorno sferico aperto di $x \in \mathbb{R}$ di raggio $r \in \mathbb{R}$ l’insieme $I_r(x) = (x -r, x + r)$ questa nozione è molto importante per definire il limite. Lo useremo subito su un punto di accumulazione 4.1.2 Punto di accumulazione Un punto di accumulazione $x$ di un insieme $A \subseteq \mathbb{R}$ è un punto tale per cui mi posso avvicinare in modo indefinito in quel punto. Infatti deve $\forall r > 0 \in R, \exists x_ 1 \in A : x_1 \in I_r(x) \wedge x_1 \not= x$ ossia per cui $A \cap I_r(x) \not= \varnothing$. ...

12 min Â· Xuanqiang 'Angelo' Huang

Serie

Questo è un tentativo di aggiungere un argomento che non era presente quando abbiamo fatto il corso due anni fa. Inizio la scrittura il 2024-03-03. Questo non è stato trattano nel corso, ma è importante per molte cose. Quindi introduco questo appunto. Introduzione alle serie Le serie infinite sono dei mostri strani perché non si comportano spesso come dovrebbero. Definizione di convergenza $$ \lim_{ n \to \infty } f_{n} = c $$ con $c$ un numero reale. ...

5 min Â· Xuanqiang 'Angelo' Huang

Derivate

Geometria introduttiva Tangente e pendenza Si può trovare la relazione fra la pendenza della retta e la tangente. Possiamo analizzare la retta dal punto di vista analitico, della formula e si può dimostrare che data una retta nella forma $y = mx + q$ $m$ è la pendenza della retta. Formula generale delle rette Dati qualunque due punti .$(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ possiamo dire che la pendenza è esprimibile come ...

4 min Â· Xuanqiang 'Angelo' Huang

Successioni

3.1 Successioni $$ \begin{cases} f: \mathbb{N} \to \mathbb{R} \\ n \to f(n) \\ \{a\}_{n \in \mathbb{N}} \vee a_n \end{cases} $$$$ \left\{ a \right\} _{n \in \mathbb{N}} $$3.1.1 Immagine e successione L’immagine di una successione (l’insieme dei suoi elementi) non è una successione! la successione è anche ordinata. 3.1.2 Limitazioni della successione Come per gli insiemi si può definire se l’insieme è limitato superiormente, inferiormente o entrambi, a seconda di come lo definiamo in questo modo possiamo poi farci altri ragionamenti ...

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Massimi minimi multi-variabile

Matrice Jacobiana È un modo per scrivere il gradiente di una funzione quando è in una certa forma. Data una funzione $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p$ ossia per esempio $x=(x_1,...,x_n) \to(f_1(x),...,f_p(x))$ Se le p funzioni di arrivo sono differenziabili, allora la matrice Jacobiana è definita in questo modo: $$J_f(x) = \begin{pmatrix} \delta_{x_1} f_1(x) & … & \delta_{x_n} f_1(x)\ . & . & . \ \delta_{x_1} f_p(x) & … & \delta_{x_n} f_p(x) ...

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Fourier Series

Intuition $$ \frac{1}{\sqrt{ 2\pi }}, \frac{\cos(kx)}{\sqrt{ \pi }}, \frac{\sin(kx)}{\sqrt{ \pi }}, \dots $$$$ \int_{0}^{2\pi} (\sin (kx))^{2} \, dx = \int_{0}^{2\pi} (\cos(kx))^{2} \, dx = \pi $$$$ \int_{0}^{2\pi}\sin(kx)\sin(hx) \, dx = \int_{0}^{2\pi}\cos(kx)\cos(hx) \, dx = 0 $$$$ \int_{0}^{2\pi}\sin(kx)\cos(hx) \, dx = \int_{0}^{2\pi} \sin(kx) \, dx = \int_{0}^{2\pi}\cos(hx) \, dx = 0 $$Proofs of the relations In this section we quickly prove why the above equations hold. First we all agree that $\int_{0}^{2\pi} \sin(kx) \, dx = \int_{0}^{2\pi} \cos(hx) \, dx = 0$ because their period divides $2\pi$ and the sum of the area of a period is clearly 0. Or we can explicitly find the primitive and solve ...

2 min Â· Xuanqiang 'Angelo' Huang

Integrali

8.1 Introduzione 8.1.1 Il problema che risolve Vogliamo cercare di creare un metodo matematico che sia utile per calcolare area di qualunque curva. L’idea principale per risolvere questo problema è approssimare l’area, lo facciamo utilizzando rettangoli, la formalizzazione sarà molto aiutata dal limite. 8.1.2 Sottografico di funzione $$ A = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 | x \in D(f(x)), 0\leq y \leq f(x)\} $$Praticamente sto prendendo tutti in punti positivi sotto al grafico. ...

9 min Â· Xuanqiang 'Angelo' Huang

Hopital, Taylor, Peano

7.1 De Hopital 7.1.1 Lemmi preliminari Questo lemma preliminare era già presente per la prova del teorema degli zeri Questo lemma è molto interessante perché mette in relazione il finito (le successioni) con l’infinito (i reali) In molte dimostrazioni si dà per scontato questo lemma, ma è una sottigliezza importante che giustifica l’utilizzo di successioni per limiti reali. Ci permette di semplificare molto le dimostrazioni perché riusciamo a trattare le successioni molto meglio. ...

5 min Â· Xuanqiang 'Angelo' Huang

Integrali multi-dimensionali

Andremo ad analizzare integrali di funzioni continue su insiemi semplici (domini normali) . Introduzione Y-semplice e regolarità È un insieme semplice di punti, in pratica, se considero un intervallo limitato e due funzioni definite in questo intervallo tale che una è sempre minore dell’altra, l’insieme y-semplice sono i punti compresi fra queste Definizione del libro Intuizione integrale Definizione del prof. Dato un insieme semplice A e una funzione continua $f:A \to R$ allora è ben definito l’integrale $$ \int_Af(x, y) dxdy \in R $$ Osservazione 1: ...

1 min Â· Xuanqiang 'Angelo' Huang

Analisi di Convessità

Questo argomento è stato trattato durante dopo la discussione dei Massimi minimi multi-variabile, però è stato ripreso anche nella forma R to R, quindi credo necessiti di un foglio a parte. Affine set Lines $$ x = \theta x_{1} + (1 - \theta)x_{2} $$ This is a parametrization of the line Example: Def: affine set A combination where the coefficients add up to 1. We can say that this set is unique given two points. ...

13 min Â· Xuanqiang 'Angelo' Huang